Généralités

Définition

Une fonction \(f\) est affine si elle est définie sur \(\mathbb{R}\) et s'il existe deux réels \(m\) et \(p\) tels que, pour tout réel \(x\), on a : \(\boxed {f(x)=mx+p}\).

Exemples

• Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3x-7\). Alors \(f\) est une fonction affine avec \(m=3\) et \(p=-7\).
  
• Soit \(g\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=4-x\). Alors \(g\) est une fonction affine avec \(m=-1\) et \(p=4\).
  
• Soit \(h\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=x^2+3\). Alors \(h\) n'est pas une fonction affine. En effet, il n'existe pas deux réels \(m\) et \(p\) tels que \(h(x)=mx+p\), pour tout réel \(x\).
  

Remarques

Soit \(f\) une fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=mx+p\), où \(m\) et \(p\) sont deux réels.

• Si \(m=0\), alors, pour tout réel \(x\), \(f(x)=p\). Donc \(f\) est la fonction constante égale à \(p\) sur \(\mathbb{R}\).
  
• Si \(p=0\) et \(m\neq0\) alors, pour tout réel \(x\), \(f(x)=mx\). Dans ce cas, \(f\) est une fonction linéaire. Cette fonction représente une situation de proportionnalité qui admet \(m\) comme coefficient de proportionnalité.